Hàm vectơ

Hàm vectơ y của một biến số thực cho giá trị vectơ trong không gian Rn với mỗi số thực bất kì. Một hàm vectơ có thể được chia thành các hàm tọa độ y1(t), y2(t), ..., yn(t), tức là y(t) = (y1(t), ..., yn(t)). Nó cũng bao gồm các phương trình tham số tại R2 hay R3. Các hàm tọa độ này là hàm số thực, nên định nghĩa đạo hàm cũng đúng với chúng. Đạo hàm của y(t) là một vectơ, được gọi là vectơ tiếp tuyến, mà tọa độ của nó là đạo hàm của các hàm tọa độ, nghĩa là:

y ′ ( t ) = ( y 1 ′ ( t ) , . . . , y n ′ ( t ) ) {\displaystyle {\textbf {y}}'(t)=(y_{1}'(t),...,y_{n}'(t))}

hay

y ′ ( t ) = lim h → 0 y ( t + h ) − y ( t ) h {\displaystyle {\textbf {y}}'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\textbf {y}}(t+h)-{\textbf {y}}(t)}{h}}}

nếu giới hạn đó tồn tại. Ở đây tử thức là một đại lượng vectơ, không phải đại lượng vô hướng. Nếu đạo hàm của y tồn tại với mọi giá trị của t thì y' cũng là một hàm vectơ.

Nếu e1, ..., en là các vectơ đơn vị trong Rn thì y(t) có thể được viết thành y1(t)e1 + ... + yn(t)en. Vì mỗi vectơ đơn vị đều là hằng số nên theo quy tắc nhân:

y ′ ( t ) = y 1 ′ ( t ) e 1 + . . . + y n ′ ( t ) e n {\displaystyle {\textbf {y}}'(t)=y_{1}'(t){\textbf {e}}_{1}+...+y_{n}'(t){\textbf {e}}_{n}}

Trong vật lý, nếu y(t) là vectơ vị trí của một chất điểm tại thời điểm t thì y'(t) là vectơ vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t.

Đạo hàm riêng

Gọi f là hàm số đa biến, chẳng hạn:

f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}

f còn được gọi là họ các hàm một biến được biểu thị bởi biến số khác:

f ( x , y ) = f x ( y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}}

Nói cách khác, mỗi giá trị của x xác định một hàm đơn biến fx:

x ↦ f x , {\displaystyle x\mapsto f_{x},} f x ( y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Chọn một giá trị x = a, ta có hàm số fa:

f a ( y ) = a 2 + a y + y 2 . {\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.}

Ở đây a là hằng số, không phải là biến nên fa là hàm đơn biến. Theo định nghĩa đạo hàm đơn biến thì

f a ′ ( y ) = a + 2 y . {\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.}

Lặp lại tương tự với mọi giá trị khác của a. Tổng hợp lại, ta có hàm số biểu diễn sự biến thiên của f theo y:

∂ f ∂ y ( x , y ) = x + 2 y . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.\,}

Đó là đạo hàm riêng của f theo y. Ở đây ∂ được gọi là kí hiệu đạo hàm riêng. Tổng quát, đạo hàm riêng của hàm f(x1, ..., xn) theo hướng xi tại điểm (a1, ..., an) là:

∂ f ∂ x i ( a 1 , … , a n ) = lim h → 0 f ( a 1 , … , a i + h , … , a n ) − f ( a 1 , … , a i , … , a n ) h . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}.}

Trong tỉ sai phân trên, mọi biến trừ xi đều mang giá trị không đổi, nên hàm đơn biến sau được xác định:

f a 1 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n ( x i ) = f ( a 1 , … , a i − 1 , x i , a i + 1 , … , a n ) , {\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}

và theo định nghĩa:

d f a 1 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n d x i ( x i ) = ∂ f ∂ x i ( a 1 , … , a n ) . {\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(x_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}

Nói cách khác, với các giá trị khác nhau của a, ta xác định được một họ các hàm đơn biến như ví dụ trên đây.

Một ví dụ quan trọng của hàm đa biến là trường hợp một hàm vô hướng f(x1, ..., xn) xác định trên một miền của không gian Euclid Rn (chẳng hạn, R2 hay R3). Trong trường hợp này, f có đạo hàm riêng ∂f/∂xj với mỗi biến xj. Tại điểm (a1, ..., an), các đạo hàm riêng này định ra vectơ

∇ f ( a 1 , … , a n ) = ( ∂ f ∂ x 1 ( a 1 , … , a n ) , … , ∂ f ∂ x n ( a 1 , … , a n ) ) . {\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right).}

Vectơ này được gọi là gradien của f tại a. Nếu f khả vi tại mọi điểm trong miền xác định thì gradien là một hàm vectơ ∇f đưa một điểm (a1, ..., an) đến vectơ ∇f(a1, ..., an). Do đó, gradien là một trường vectơ.

Đạo hàm có hướng

Nếu f là hàm số thực trên Rn thì đạo hàm riêng của f mô tả sự biến thiên của nó theo hướng của các trục tọa độ. Chẳng hạn, nếu f là một hàm gồm hai biến x và y thì các đạo hàm riêng của f biểu diễn sự biến thiên của nó theo hai trục x và y. Tuy nhiên, chúng không trực tiếp biểu diễn được sự biến thiên của f theo các trục khác (như đường thẳng y = x). Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm có hướng. Chọn một vectơ

v = ( v 1 , … , v n ) . {\displaystyle {\textbf {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n}).}

Đạo hàm có hướng của f theo hướng của v tại điểm x là giới hạn

D v f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h v ) − f ( x ) h . {\displaystyle D_{\textbf {v}}f({\textbf {x}})=\lim _{h\to 0}{\frac {f({\textbf {x}}+h{\textbf {v}})-f({\textbf {x}})}{h}}.}

Trong nhiều trường hợp, để hỗ trợ tính toán, ta thường thay đổi độ dài vectơ để quy về bài toán tính đạo hàm có hướng theo một vectơ đơn vị. Để chứng minh hiệu quả, ta đặt v = λu. Thay h = k/λ vào tỉ sai phân, ta có:

f ( x + ( k / λ ) ( λ u ) ) − f ( x ) k / λ = λ ⋅ f ( x + k u ) − f ( x ) k . {\displaystyle {\frac {f({\textbf {x}}+(k/\lambda )(\lambda {\textbf {u}}))-f({\textbf {x}})}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f({\textbf {x}}+k{\textbf {u}})-f({\textbf {x}})}{k}}.}

hay bằng λ lần tỉ sai phân của đạo hàm có hướng của f theo u. Hơn nữa, việc lấy giới hạn khi h tiến về 0 cũng giống như khi k tiến về 0 vì h và k là bội số của nhau. Do đó, Dv(f) = λDu(f). Vì tính chất này nên thường ta chỉ xét đạo hàm có hướng đối với các vectơ đơn vị.

Nếu tất cả đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục tại x thì chúng xác định đạo hàm có hướng của f theo hướng của v bằng công thức:

D v f ( x ) = ∑ j = 1 n v j ∂ f ∂ x j . {\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}

Đó là hệ quả của định nghĩa đạo hàm tổng. Theo đó, đạo hàm có hướng tuyến tính trên v, nghĩa là Dv + w(f) = Dv(f) + Dw(f).

Định nghĩa trên cũng đúng khi f là hàm số lấy giá trị trong Rm. Khi đó, đạo hàm có hướng là một vectơ trong Rm.

Đạo hàm tổng, vi phân tổng và ma trận Jacobi

Khi f là hàm số xác định trên một tập mở của Rn đến Rm thì đạo hàm có hướng của f theo một hướng xác định là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của f tại điểm đó và theo hướng đó. Nhưng khi n > 1 thì không đạo hàm có hướng nào có thể mô tả trạng thái biến thiên của f một cách toàn diện. Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm tổng. Với mỗi vectơ v bắt đầu tại a, ta có:

f ( a + v ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) v . {\displaystyle f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})\approx f({\textbf {a}})+f'({\textbf {a}}){\textbf {v}}.}

Giống như đạo hàm đơn biến, f'(a) được chọn sao cho sai số trong biểu thức là thấp nhất có thể.

Nếu n và m cùng bằng 1 thì đạo hàm f'(a) là một số và f'(a)v là tích của hai số. Nhưng trong không gian, f'(a) không thể là một số, vì nếu vậy thì f'(a)v phải là một vectơ trên Rn và số hạng còn lại là vectơ trên Rm, đó là điều vô lý. Do đó, f'(a) phải là một hàm đưa vectơ ở Rn đến vectơ ở Rm và f'(a)v phải chứng tỏ hàm đó xác định tại v.

Để tìm xem hàm đó có dạng gì, chú ý rằng phép xấp xỉ tuyến tính có thể được viết lại thành

f ( a + v ) − f ( a ) ≈ f ′ ( a ) v . {\displaystyle f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})-f({\textbf {a}})\approx f'({\textbf {a}}){\textbf {v}}.}

Nếu ta chọn một vectơ w khác v thì biểu thức này xác định thêm một phép xấp xỉ tuyến tính khác bằng cách thay v bằng w. Nó cũng xác định một phép xấp xỉ tuyến tính thứ ba bằng cách thay v bằng w và thay a bằng a + v. Trừ vế cho vế ở hai biểu thức trên, ta được

f ( a + v + w ) − f ( a + v ) − f ( a + w ) + f ( a ) ≈ f ′ ( a + v ) w − f ′ ( a ) w . {\displaystyle f({\textbf {a}}+{\textbf {v}}+{\textbf {w}})-f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})-f({\textbf {a}}+{\textbf {w}})+f({\textbf {a}})\approx f'({\textbf {a}}+{\textbf {v}}){\textbf {w}}-f'({\textbf {a}}){\textbf {w}}.}

Nếu coi v là nhỏ và đạo hàm đó biến đổi liên tục trên a thì f'(a + v) xấp xỉ bằng f'(a) nên vế phải xấp xỉ bằng 0. Bằng cách ứng dụng phép xấp xỉ tuyến tính với v thay bằng v + w, ta viết lại vế trái như sau:

0 ≈ f ( a + v + w ) − f ( a + v ) − f ( a + w ) + f ( a ) = ( f ( a + v + w ) − f ( a ) ) − ( f ( a + v ) − f ( a ) ) − ( f ( a + w ) − f ( a ) ) ≈ f ′ ( a ) ( v + w ) − f ′ ( a ) v − f ′ ( a ) w . {\displaystyle {\begin{aligned}0&\approx f({\textbf {a}}+{\textbf {v}}+{\textbf {w}})-f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})-f({\textbf {a}}+{\textbf {w}})+f({\textbf {a}})\\&=(f({\textbf {a}}+{\textbf {v}}+{\textbf {w}})-f({\textbf {a}}))-(f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})-f({\textbf {a}}))-(f({\textbf {a}}+{\textbf {w}})-f({\textbf {a}}))\\&\approx f'({\textbf {a}})({\textbf {v}}+{\textbf {w}})-f'({\textbf {a}}){\textbf {v}}-f'({\textbf {a}}){\textbf {w}}.\\\end{aligned}}}

Điều này chứng tỏ rằng f'(a) là phép biến đổi tuyến tính từ không gian vectơ Rn sang không gian vectơ Rm.

Thực tế, đạo hàm đơn biến là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất vì đó là giới hạn của tỉ sai phân. Tuy nhiên, biểu thức này không hợp lý trong không gian, vì không phải lúc nào ta cũng thực hiện được phép chia các vectơ. Đặc biệt, trong tỉ sai phân, tử thức và mẫu thức không thuộc cùng một không gian vectơ: tử thuộc tập con Rn còn mẫu thuộc tập Rm. Hơn nữa, đạo hàm là phép biến đổi tuyến tính, do đó, để f'(a) là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất thì cần điều chỉnh một công thức khác cho đạo hàm đơn biến để giải quyết vấn đề. Nếu f : R → R, ta biến đổi biểu thức để cho thấy đạo hàm của f tại a là một số f'(a) duy nhất sao cho

lim h → 0 f ( a + h ) − ( f ( a ) + f ′ ( a ) h ) h = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)}{h}}=0}

hoặc đồng nghĩa với

lim h → 0 | f ( a + h ) − ( f ( a ) + f ′ ( a ) h ) | | h | = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)|}{|h|}}=0}

vì giới hạn của biểu thức bằng 0 khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của nó tiến về 0. Biểu thức cuối có thể áp dụng được cho hàm đa biến bằng cách thay giá trị tuyệt đối bằng chuẩn.

Do đó, người ta định nghĩa: Đạo hàm tổng của f tại a là phép biến đổi tuyến tính duy nhất f'(a) : Rn → Rm sao cho

lim h → 0 ‖ f ( a + h ) − ( f ( a ) + f ′ ( a ) h ) ‖ ‖ h ‖ = 0. {\displaystyle \lim _{{\textbf {h}}\to 0}{\frac {\|f({\textbf {a}}+{\textbf {h}})-(f({\textbf {a}})+f'({\textbf {a}}){\textbf {h}})\|}{\|{\textbf {h}}\|}}=0.}

Nếu đạo hàm tổng này tồn tại ở a thì tất cả đạo hàm riêng và đạo hàm có hướng của f đều tồn tại ở a, và với mọi v, f'(a)v là đạo hàm có hướng của f theo hướng v. Nếu ta viết lại f theo các hàm tọa độ, tức là f = (f1, f2, ..., fm) thì đạo hàm tổng có thể được biểu thị bằng cách coi các đạo hàm riêng như là một ma trận. Ma trận đó được gọi là ma trận Jacobi của f tại a:

f ′ ( a ) = Jac a = ( ∂ f i ∂ x j ) i j . {\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}

Nếu đạo hàm riêng tồn tại và liên tục thì đạo hàm tổng tồn tại, được xác định bằng ma trận Jacobi và phụ thuộc liên tục vào a.

Định nghĩa đạo hàm tổng còn gộp vào thêm định nghĩa đạo hàm đơn biến, tức là, nếu f là hàm số thực đơn biến thì đạo hàm tổng tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm thường của nó tồn tại. Ma trận Jacobi khi đó được thu gọn thành ma trận 1×1, trong đó đạo hàm f'(x) là phần tử duy nhất. Ma trận 1×1 này thỏa mãn tính chất f(a + h) - (f(a) + f'(a)h) có giá trị xấp xỉ bằng 0, hay

f ( a + h ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) h . {\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.}

Đây cũng là phát biểu cho rằng hàm x ↦ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)} là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của f tại a.